初中数学知识点(20)

【来源：易教网 更新时间：2026-07-30】

七年级上册的数学知识点里，函数、相交线与平行线、实数这三个模块，是每年期中、期末考的高频考点，也是整个初中数学的基础。后台每天都有不少同学留言说，这几个模块的概念太多，记了又忘，做题的时候总搞混。

今天我把这三个模块的核心考点全部拆解清楚了，没有多余的废话，全是考试要考的内容，跟着梳理一遍，保证你把这些知识点吃得透透的。

一、函数及其相关概念

函数是初中数学第一个比较抽象的概念，很多同学刚学的时候摸不着头脑，其实只要把几个核心定义搞明白，一点都不难。

1. 变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值始终保持不变的量叫做常量。

举个生活化的例子：你夏天买冰淇淋，买1个花3元，买2个花6元，买3个花9元，这个过程中，冰淇淋的购买数量是变量，你花的钱数也是变量，而冰淇淋的单价3元是常量，不会随购买数量变化。

一般地，在某一变化过程中有两个变量\( x \)与\( y \)，如果对于\( x \)的每一个值，\( y \)都有唯一确定的值与它对应，那么\( x \)是自变量，\( y \)是\( x \)的函数。

这里要注意“唯一确定”四个字，是一个\( x \)只能对应一个\( y \)，不能出现一个\( x \)对应好几个\( y \)的情况，这是函数的核心特征。

2. 函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式，也叫做函数关系式。比如\( y=2x+1 \)、\( y=x^2 \)都是函数解析式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。比如函数\( y=\frac{1}{x-2} \)中，分母不能为0，所以\( x\neq2 \)；函数\( y=\sqrt{x-1} \)中，被开方数不能为负数，所以\( x\geq1 \)，这些都是常考的自变量取值范围的考点。

3. 函数的三种表示法

（1）解析法：用含有两个变量及数字运算符号的等式表示函数关系，比如\( y=3x \)就是解析法表示的函数。解析法的优势是能精准算出任意自变量对应的函数值，适合用来推导函数的性质，缺点是相对抽象，不容易直观看出变化趋势。

（2）列表法：把自变量的一系列值和对应的函数值列成表格表示函数关系。比如你买笔记本，1本3元，2本6元，3本9元，列成表格就是列表法。列表法的好处是非常直观，一眼就能看到对应的数值，适合统计类、离散型的函数问题，缺点是无法表示所有的自变量取值，只能列出有限的部分数值。

（3）图像法：用图像表示函数关系，比如\( y=x+1 \)在坐标系里是一条直线。图像法的优势是能清晰看出函数的变化趋势，是上升还是下降，有没有交点，适合分析动态的函数问题，缺点是无法精准算出非描点处的函数值，只能做近似判断。

4. 函数图像的绘制步骤

由函数解析式画图像一般遵循三个步骤：

第一步列表：先给自变量选取一些合适的取值，算出对应的函数值，列成表格。比如画\( y=x+1 \)的图像，可以取\( x=-1,0,1,2 \)，对应的\( y \)分别是\( 0,1,2,3 \)。

第二步描点：以表中每一对对应值为坐标，在坐标平面内描出对应的点，比如\( (-1,0) \)、\( (0,1) \)、\( (1,2) \)、\( (2,3) \)。

第三步连线：按照自变量由小到大的顺序，把描出的点用平滑的曲线（直线也是平滑曲线的一种）连接起来，图像就画好了。

二、相交线与平行线

相交线与平行线是初中几何的基础，后面学的所有几何证明题，几乎都离不开这部分的概念。

1. 两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。

如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，就说这两条直线平行。这里要注意前提是“同一平面内”，如果是空间里的两条直线，不相交也不平行，叫做异面直线，初中阶段暂不涉及。

2. 相交线的核心概念

两条直线相交会形成四个角，其中有两个核心概念：

（1）邻补角：有公共顶点，且有一条公共边的两个角叫做邻补角，邻补角的性质是互补，也就是两个角的和是\( 180^\circ \)。

比如两条直线相交形成的\( \angle1 \)和\( \angle2 \)，有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线，就是邻补角，所以\( \angle1+\angle2=180^\circ \)，四个邻补角的和都是\( 180^\circ \)。

（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角，对顶角的性质是相等。

比如两条直线相交形成的\( \angle1 \)和\( \angle3 \)，两边互为反向延长线，就是对顶角，所以\( \angle1=\angle3 \)，\( \angle2=\angle4 \)。

如果两条直线相交成的角是直角（\( 90^\circ \)），就说这两条直线互相垂直，记作\( a\perp b \)。垂直有三大核心性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。不管是直线外一点，还是直线上一点，都只能做一条垂线。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说就是“点到直线，垂线段最短”，比如你从教室的一角走到对面的墙，走垂直于墙的路线是最短的，斜着走肯定更长。

性质3：如果\( a\perp b \)，那么\( a \)与\( b \)形成的四个角都是直角，即\( \angle1=\angle2=\angle3=\angle4=90^\circ \)。

其中直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，比如你站的位置到黑板的垂线段长度，就是你到黑板的距离，不是你斜着到黑板的距离。

3. 三线八角的核心概念

两条直线被第三条直线所截，会形成八个角，其中有三类需要掌握的角：

（1）同位角：在两条被截线的同一方，且都在截线的同一侧的两个角，叫做同位角，形状像字母“F”。比如两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的上方，又都在被截线的右侧，就是同位角，一对被截线和截线会形成4对同位角。

（2）内错角：在两条被截线之间，且在截线的两侧的两个角，叫做内错角，形状像字母“Z”。一对被截线和截线会形成2对内错角。

（3）同旁内角：在两条被截线之间，且都在截线的同一旁的两个角，叫做同旁内角，形状像字母“U”。一对被截线和截线会形成2对同旁内角。

这里给大家个记忆口诀：同位角找F，内错角找Z，同旁内角找U，看到图形先找形状，根本不用死记硬背文字定义，做题的时候一眼就能判断出来。

三、实数

实数是初中数学数域扩展的关键内容，从有理数扩展到实数，是后面学二次根式、一元二次方程的基础。

1. 实数的分类

实数分为有理数和无理数两大类：

（1）按定义分类：有理数是能够写成两个整数之比的数，包括整数和分数，整数又分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数；无理数是无限不循环小数，比如\( \pi \)、\( \sqrt{2} \)、\( \sqrt{3} \)这些，不能写成两个整数之比。

（2）按性质符号分类：分为正实数、0、负实数，其中0既不是正数也不是负数，这个点考试经常考，不要记错。

2. 实数的核心相关概念

（1）相反数：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，0的相反数是0。互为相反数的两个数之和等于0，也就是如果\( a \)、\( b \)互为相反数，那么\( a+b=0 \)。从数轴上看，互为相反数的两个点关于原点对称，到原点的距离相等。

（2）绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作\( |a| \)。绝对值的性质是\( |a|\geq0 \)，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，比如\( |5|=5 \)，\( |-5|=5 \)，\( |0|=0 \)。

（3）倒数：乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。

如果\( a \)、\( b \)互为倒数，那么\( ab=1 \)，\( a \)的倒数是\( \frac{1}{a} \)（\( a\neq0 \)），比如2的倒数是\( \frac{1}{2} \)，\( -3 \)的倒数是\( -\frac{1}{3} \)。

（4）平方根：如果一个数的平方等于\( a \)，这个数就叫做\( a \)的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。

\( a(a\geq0) \)的平方根记作\( \pm\sqrt{a} \)，其中正的平方根叫做算术平方根，记作\( \sqrt{a} \)。比如4的平方根是\( \pm2 \)，算术平方根是2；9的平方根是\( \pm3 \)，算术平方根是3。

这里要提醒大家，考试的时候如果问“a的平方根”，一定要写两个，一正一负，只写一个会扣分；如果问“a的算术平方根”，只写正的就可以。

（5）立方根：如果\( x^3=a \)，那么\( x \)叫做\( a \)的立方根。一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，记作\( \sqrt[3]{a} \)。比如8的立方根是2，因为\( 2^3=8 \)；

\( -27 \)的立方根是\( -3 \)，因为\( (-3)^3=-27 \)。

3. 实数与数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可。

实数和数轴上的点是一一对应的，每一个实数都能在数轴上找到对应的点，数轴上的每一个点都对应一个实数，因此可以用数轴来比较实数的大小：数轴上靠右边的点所表示的数总比左边的大。比较实数大小有三个常用规则：正数都大于0，负数都小于0；两个正数比较，绝对值较大的数更大；两个负数比较，绝对值大的数反而小，比如\( -2 \)和\( -5 \)，\( |-2|=2 \)，\( |-5|=5 \)，因为\( 2<5 \)，所以\( -2>-5 \)，这个点很多同学容易搞反，做题的时候多核对两遍就不会错了。

这三个模块的知识点，是七年级上册数学的核心基础，后面的几何证明、一次函数、二次函数、一元二次方程等内容，都离不开这些基础概念的支撑。建议同学们把这篇文章收藏起来，平时翻一翻、背一背，把每个概念都理解透彻，做题的时候自然就不会混淆，考试也能少丢分。

如果还有哪里没看懂，或者有其他数学问题，都可以在后台留言，我看到都会给大家解答。