高三数学教案 数学归纳法

一、教学目标

1.了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力.

2.了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤.

3.抽象思维和概括能力进一步得到提高.

二、教学重点与难点

重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题。

难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明;

2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

三、教学过程

(一)创设情景

对于数列{an}，已知 ， (n=1,2,¬…), 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为 。这个猜想是否正确需要证明。

一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证就很麻烦。特别是n可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。

(二)研探新知

1、了解多米诺骨牌游戏。

可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：

(1)第一块骨牌倒下;

(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

思考：你认为条件(2)的作用是什么?

可以看出，条件(2)事实上给出了一个递推关系：

当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证(1)(2)成立。

2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。

思考：你认为证明数列的通过公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?

分析：

多米诺骨牌游戏原理 通项公式 的证明方法

(1)第一块骨牌倒下。 (1)当n=1时a1=1，猜想成立

(2)若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。 (2)若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即 。

根据(1)和 (2)，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 根据(1)和(2)，可知对任意的正整数n，猜想都成立。

3、数学归纳法的原理

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立;

(2)(归纳递推)假设n=k( )时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述证明方法叫做数学归纳法

注意：(1)这两步步骤缺一不可。

(2)用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。

(3)数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。

4、例题讲解

例1 课本P94

例2 课本P94

例3.用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n-1)=n2。

证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.

(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k-1)=k2，

那么

1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2。

即当n=k+1时等式也成立。

根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N *都成立。

(三)课堂练习：

1、用数学归纳法证明：1+2+3+…+n= 。

2、课本P95练习1、2。

(四)小结 ：

数学归纳法的原理和步骤。

(五)布置作业：