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易教网分享:高三数学解析几何训练试题

【点击数:1369 更新时间:2013-09-19

 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=1上,则D与E的关系是(  )
A.D+E=2   B.D+E=1
C.D+E=-1    D.D+E=-2[来X k b 1 . c o m
 解析 D 依题意得,圆心-D2,-E2在直线x+y=1上,因此有-D2-E2=1,即D+E=-2.
2.以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(  )
A.(x+1)2+(y+1)2=2    B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x+1)2+(y+1)2=8    D.(x-1)2+(y-1)2=8
 解析 B 直径的两端点为(0,2),(2,0),∴圆心为(1,1),半径为2,圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
3.已知F1、F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|•|PF2|取最大值的点P为(  )
           A.(-2,0)        B.(0,1)       C.(2,0)      D.(0,1)和(0,-1)
   解析 D 由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|•|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=4,
        当且仅当|PF1|=|PF2|,即P(0,-1)或(0,1)时,取“=”.
4.已知椭圆x216 +y225=1的焦点分别是F1、F2,P是椭圆上一点,若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是(  )
             A.165           B.3          C.163          D.253
 解析 A 椭圆x216+y225=1的焦点分别为F1(0,-3)、F2(0,3),易得∠F1PF2<π2,∴∠PF1F2=π2或∠PF2F1=π2,点P到y轴的距离d= |xp|,又|yp|=3,x2p16+y2p25=1,解得|xP|=165,故选A.
5.若曲线y=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(  )
A.4x+y+4=0   B.x-4y-4=0
C.4x-y-12=0   D.4x-y-4=0
 解析 D 设切点为(x0,y0),则y′|x=x0=2x0,  ∴2x0=4,即x0=2,
          ∴切点为(2,4),方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.
6.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的(  )
              A.充分不必要条件          B.必要不充分条件
              C.充要条件                 D.既不充分也不必要条件
 解析 C 方程可化为x21m+y21n=1,若焦点在y轴上,则1n>1m>0,即m>n>0.
7.设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(  )
A.54             B.5          C.52          D.5
 解析 D 双曲线的渐近线为y=±bax,由对称性,只要与一条渐近线有一个公共点          
       即可由y=x2+1,y=bax,得x2-bax+1=0.
       ∴Δ=b2a2-4=0,即b2=4a2,∴e=5.
8.P为椭圆x24+y23=1上一点,F1、F2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60°,则PF1→•PF2→=(  )
A.3   B.3
C.23   D.2
 解析 D ∵S△PF1F2=b2tan60°2=3×tan 30°=3=12|PF1→|•|PF2→|•sin 60°,∴|PF1→||PF2→|=4,∴PF1→•PF2→=4×12=2.
9.设椭圆x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为(  )
A.x212+y216=1   B.x216+y212=1
C.x248+y264=1  D.x264+y248=1
 解析 B 抛物线的焦点为(2,0),∴由题意得c=2,cm=12,
        ∴m=4,n2=12,∴方程为x216+y212=1.
10.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的 一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为(  )
A.2   B.3
C.2   D.3
 解析 B 设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1,焦点F(-c,0),将x=-c代入x2a2-y2b2=
     1可得y2=b4a2,∴|AB|=2×b2a=2×2a,∴b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,∴e=ca=3.
11.已知抛物线y2=4x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的焦距为(  )
A.5   B.25
C.3  D.23
 解析 B ∵抛物线y2=4x的准线x=-1过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点,∴a=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±bx.∵双 曲线的一条渐近线方程为y=2x,∴b=2,∴c=a2+b2=5,∴双曲线的焦距为25.
12.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为(  )
A.19   B.14
C.13   D.12
 解析 A 由于M(1,m)在抛物线上,∴m2=2p,而M到抛物线的焦点的距离为5,根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x=-p2的距离也为5,∴1+p2=5,∴p=8,由此可以求得m=4,双曲线的左顶点为A(-a,0),∴kAM=41+a,而双曲线的渐近线方程为y=±xa,根据题意得,41+a=1a,∴a=19.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分, 共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知直线l1:ax-y+2a+1=0和l2:2x-(a-1)y+2=0(a∈R),则l1⊥l2的充要条件是a=________.
 解析 l1⊥l2⇔a•2a-1=-1,解得a=13.
【答案】 13
14.直线l:y=k(x+3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,|AB|=22,则实数k=________.
 解析 ∵|AB|=22,圆O半径为2,∴O到l的距离d=22-2=2.即|3k|k2+1=2,解得k=± 147.
【答案】 ±147
15.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为________.
 解析 如图,圆的方程可化为
(x-3)2+(y-4)2=5,
∴|OM|=5,|OQ|=25-5=25.
在△OQM中,
12|QA|•|OM|=12|OQ|•|QM|,
∴|AQ|=25×55=2,∴|PQ|=4.
【答案】 4
16.在△ABC中,|BC→|=4,△ABC的内切圆切BC于D点,且|BD→|-|CD→|=22,则顶点A的轨迹方程为________.
 解析 以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标系,E、F分别为两个切点.
则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,
|AE|=|AF|.∴|AB|-|AC|=22,
∴点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),且a=2,c=2,∴b=2,∴方程为x22-y22=1(x>2).
【答案】 x22-y22=1(x>2)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在平面直角坐标系中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为22的圆C经过原点O.
(1)求圆C的方程;
(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程.
 解析 (1)设圆心为(a,b),
则b=a+4,a2+b2=22,解得a=-2,b=2,
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)当斜率不存在时,x=0,与圆的两个交点为(0,4),(0,0),则弦长为4,符合题意;
当斜率存在时,设直线为y-2=kx,
则由题意得,8=4+-2k1+k22,无解.
综上,直线方程为x=0.
18.(12分)(2011•合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-3,0)和F2(3,0),且椭圆过点1,-32.
(1)求椭圆方程;
(2)过点-65,0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点.试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由.
 解析 (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由c=3,椭圆过点1,-32可得a2-b2=3,1a2+34b2=1,
解得a2=4,b2=1,所以可得椭圆方程为x24+y2=1.
(2)由题意可设直线MN的方程为:x=ky-65,
   联立直线MN和椭圆的方程:x=ky-65,x24+y2=1,化简得(k2+4)y2-125ky-6425=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1y2=-6425(k2+4),y1+y2=12k5(k2+4),
又A(-2,0),则AM→•AN→=(x1+2,y1)•(x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0,所以∠MAN=π2.
19.(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦 点的距离分别为7和1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,|OP||OM|=e(e为椭圆离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
 解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,
由已知,得a-c=1,a+c=7,解得a=4,c=3.
∴椭圆方程为x216+y27=1.
(2)设M(x,y),P(x,y1),其中x∈[-4,4],
由已知得x2+y21x2+y2=e2,而e=34,
故16(x2+y21)=9(x2+y2),①
由点P在椭圆C上,得y21=112-7x216,
代入①式并化简,得9y2=112.
∴点M的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4),
∴轨迹是两条平行于x轴的线段.
20.(12分)给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a>0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.
 解析 设P(x0,y0)(x0≥0),则y20=2x0,
∴d=|PA|=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1.
∵a>0,x0≥0,
∴(1)当0<a<1时,1-a>0,
此时有x0=0时,dmin=(1-a)2+2a-1=a;
(2)当a≥1时,1-a≤0,
此时有x0=a-1时,dmin=2a-1.
21.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10),点M(3,m)在双曲线上.
(1)求双曲线方程;
(2)求证:点M在以F1F2为直径的圆上;
(3)求△F1MF2的面积.
 解析 (1)∵双曲线离心率e=2,
∴设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),
则由点(4,-10)在双曲线上,
知λ=42-(-10)2=6,
∴双曲线方程为x2-y2=6.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,则32-m2=6,∴m2=3,由双曲线x2-y2=6知F1(23,0),F2(-23,0),
∴MF1→•MF2→=(23-3,-m)•(-23- 3,-m)=m2-3=0,
∴MF1→⊥MF2→,故点M在以F1F2为直径的圆上.
(3)S△F1MF2=12|F1F2|•|m|=23×3=6.
22.(12分)已知实数m>1,定点A(-m,0),B(m,0),S为一动点,点 S与A,B两点连线斜率之积为-1m2.
(1)求动点S的轨迹C的方程,并指出它是哪一种曲线;
(2)当m=2时,问t取何值时,直线l:2x-y+t=0(t>0)与曲线C有且只有一个交点?
(3)在(2)的条件下,证明:直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率.
 解 析 (1)设S(x,y),则kSA=y-0x+m,kSB=y-0x-m.
由题意,得y2x2-m2=-1m2,即x2m2+y2=1(x≠±m).
∵m>1,
∴轨迹C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点),其中长轴长为2m,短轴长为2.
(2)当m=2时,曲线C的方程为x22+y2=1(x≠±2).
由2x-y+t=0,x22+y2=1,消去y,得9x2+8tx+2t2-2=0.
令Δ=64t2-36×2(t2-1)=0,得t=±3.
∵t>0,∴t=3.
此时直线l与曲线C有且只有一个公共点.
(3)由(2)知直线l的方程为2x-y+3=0,
设点P(a,2a+3)(a<2),d1表示P到点(1,0)的距离,d2表示P到直线x=2的距离,则
d1=(a-1)2+(2a+3)2=5a2+10a+10,
d2=2-a,
∴d1d2=5a2+10a+102-a=5×a2+2a+2(a-2)2.
令f(a)=a2+2a+2(a-2)2,
则f′(a)=(2a+2)(a-2)2-2(a2+2a+2)(a-2)(a-2)4
=-(6a+8)(a-2)3.
令f′(a)=0,得a=-43.
∵当a<-43时,f′(a)<0;
当-43<a<2时,f′(a)>0.
∴f(a)在a=-43时取得最小值,即d1d2取得最小值,
∴d1d2min=5•f-43=22,
又椭圆的离心率为22,
∴d1d2的最小值等于椭圆的离心率.

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