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易教网分享:高三数学三角函数、解三角形训练题

【点击数:1447 更新时间:2013-09-18

高三数学章末综合测试题(5)三角函数、解三角形 
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,则m的值为(  )
A.-12    B.12    C.-32    D.32
解析:∵|OP|=64m2+9,且cosα=-8m64m2+9=-45,
       ∴m>0,且64m264m2+9=-1625=-45,∴m=12.
答案:B
2.已知扇形的周长为6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是(  )
A.1            B.4          C.1或4         D.2或4
解析:设扇形的圆心角为α rad,半径为R,
       则2R+α•R=6,12α•R2=2,解得α=1,或α=4.
答案:C
3.已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图像(  )
A.关于直线x=π4对称   B.关于点(π3,0)对称
C.关于点(π4,0)对称   D.关于直线x=π3对称
解析:∵T=π,∴ω=2.
∵当x=π4 时,f(x)=12;当x=π3时,f(x)=0,∴图像关于(π3,0)中心对称.
答案:B
4.要得到函数y=cos2x的图像,只需将函数y=cos2x-π3的图像(  )
A.向右平移π6个单位   B.向右平移π3个单位
C.向左平移π3个单位    D.向左平移π6个单位
解析:由cos2x=cos2x-π3+π3=cos2x+π6-π3
知,只需将函数y=cos2x-π3的图像向左平移π6个单位.
答案:D
5.若2a=3sin2+cos2,则实数a的取值范围是(  )
A.0,12   B.12,1
C.-1,-12   D.-12,0
解析:∵3sin2+cos2=2sin2+π6,又34π<2+π6<56 π,∴1<2sin2+π6<2,
      即1<2a<2,∴0<a<12.
答案:A
6.函数y=3sin-2x-π6(x∈[0,π])的单调递增区间是(  )
A.0,5π12   B.π6,2π3
C.π6,11π12   D.2π3,11π12
解析:∵y=-3sin2x+π6,∴由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z,得
    kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z.  又x∈[0,π],∴k=0.此时x∈π6,2π3.
答案:B
7.已知tanα=12,tan(α-β)=-25,那么tan(2α-β)的值是(  )
A.-112             B.112                C.322             D.318
解析:tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tanα+tan(α-β)1-tanαtan(α-β)=12-251-12×-25=112.
答案:B
8.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈0,π2时,f(x)=sinx,则f5π3的值为(  )
A.-12               B.12              C.-32               D.32
解析:f5π3=f5π3-2π=f-π3=fπ3=sinπ3=32.
答案:D
9.已知cosπ4+θcosπ4-θ=14,则sin4θ+cos4θ的值等于(  )
A.34             B.56             C.58               D.32
解析:由已知,得sinπ4-θcosπ4-θ=14,即12sinπ2-2θ=14,∴cos2θ=12.
     ∴sin22θ=1-122=34。则sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=1-38=58.
答案:C
10.已知α、β为锐角,且sinα=55,sinβ=1010,则α+β=(  )
A.-3π4            B.π4或3π4             C.3π4             D.π4
解析:∵α、β为锐角,且sinα=55,sinβ=1010,
∴cosα=255,cosβ=31010,且α+β∈(0,π),∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=65050-5050=55050=22, ∴α+β=π4.
答案:D
11.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边),则△ABC的形状为(  )
A.等边三角形   B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形   D.等腰直角三角形
解析:∵cos2B2=a+c2c,∴2cos2B2-1=a+cc-1,
∴cosB=ac,∴a2+c2-b22ac=ac,∴c2=a2+b2, 故△ABC为直角三角形.
答案:B
12.在沿海某次台风自然灾害中,台风中心最大风力达到10级以上,大风降雨给沿海地区带为严重的灾害,不少大树被大风折断,某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是(  )
A.2063米        B.106米         C.1063米      D.202米
解析:设折断点与树干底部的距离为x米.
则xsin45°=20sin(180°-75°-45°)=20sin60°,
∴x=20×sin45°sin60°=2023=2063(米).
答案:A

二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.若π4是函数f(x)=sin2x+acos2x(a∈R,且为常数)的零点,则f(x)的最小正周期是__________.
解析:由题意,得fπ4=sinπ2+acos2π4=0,∴1+12a=0,∴a=-2.
     ∴f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1=2sin2x-π4-1,
     ∴f(x)的最小正周期为π.
答案:π
14.在△ABC中,tanA+tanB+3=3tanAtanB.sinAcosB=34, 则△ABC的形状为__________.
解析:∵tanA+tanB=3(tanAtanB-1),
∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=-3, ∴tanC=3,又C∈(0,π),∴C=π3.
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32,
∴cosAsinB=34,∴sinAcosB=cosAsinB,∴sin(A-B)=0,∴A=B.
∴△ABC为正三角形.
答案:正三角形
15.若将函数y=tanωx+π4(ω>0)的图像向右平移π6个单位后,与函数y=tanωx+π6的图像重合,则ω的最小值为__________.
解析: 由已知,得tanωx-π6+π4=tanωx-ω6π+π4=tanωx+π6,得π4-ω6π=kπ+      
        π6(k∈Z),∴ω=-6k+12(k∈Z).∵ω>0,∴当k=0时,ω的 最小值为12.
答案:12
16.给出下列命题:
①半径为2,圆心角的弧度数为12的扇形面积为12;
②若α、β为锐角,tan(α+β)=12,tanβ=13,则α+2β=π4;
③若A 、B是△ABC的两个内角,且sinA<sinB,则BC<AC;
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边,且a2+b2-c2<0,则△ABC是钝角三角形.
其中真命题的序号是__________.
解析:①中,S扇形=12α•R2=12×12×22=1,
∴①不正确.
②中,由已知可得tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=tan(α+β)+tanβ1-tan(α+β)tanβ=13+121-13×12=1,
又α、β为锐角,tan(α+β)=12>0,∴0<α+β<π2.
又由tanβ=13<1,得0<β<π4,  ∴0<α+2β<34π,∴α+2β=π4.∴②正确.
③中,由sinA<sinB⇒BC2R<AC2R(2R为△ABC的外接圆半径)⇒BC<AC.∴③正确.
④中,由a2+b2-c2<0知,c osC<0,
∴C为钝角,∴△ABC为钝角三角形.∴④正确.
答案:②③④
三、解答题:本大题共6小题,共70分.
17.(10分)已知sinα=-55 ,tanβ=-13,且α、β∈-π2,0.
(1)求α+β的值; (2)求2sin=π4-α+cosπ4+β的值.
解析:(1)∵sinα=-55,α∈-π2,0, ∴cosα=255.∴tanα=-12,
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1.  又∵-π<α+β<0,∴α+β=-π4.
(2)由(1)知,α+β=-π4,
2sinπ4-α+cosπ4+β=2sinπ4-α+cosπ4-π4-α=2sinπ4-α+cosα
   =2cosα-sinα=2×255+55=5.
18.(12分)已知α、β为锐角,向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=12,-12.
(1)若a•b=22,a•c=3-14,求角2β-α的值;
(2)若a=b+c,求tanα的值.
解析:(1)a•b=(cosα,sinα)•(cosβ,sinβ)
=cosαcosβ+sinαsinβ
=cos(α-β)=22.①
a•c=(cosα,sinα)•12,-12
=12cosα-12sinα=3-14.②
又∵0<α<π2,0<β<π2,∴-π2<α-β<π2.
由①得α-β=±π4,由②得α=π6.
∵α、β为锐角,∴β=5π12.从而2β-α=23π.
(2)由a=b+c,可得cosβ=cosa-12,       ③sinβ=sinα+12.  ④
③2+④2,得cosα-sinα=12.
∴2sinαcosα=34.
又∵2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=34,
∴3tan2α-8tanα+3=0.
又∵α为锐角,∴tanα>0,
∴tanα=8±82-4×3×36=8±286=4±73.
19.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-π2<φ<π2一个周期的图像如图所示.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若f(α)+fα-π3=2425,且α为△ABC的一个内角,
求sinα+cosα的值.
解析:(1)由图知,函数的最大值为1,则A=1,
函数f(x)的周期为T= 4×π12+π6=π.
而T=2πω,则ω=2.
又x=-π6时,y=0,∴sin2×-π6+φ=0.
而-π2<φ<π2,则φ=π3.
∴函数f(x)的表达式为f(x)=sin2x+π3.
(2)由f(α)+fα-π3=2425,得
sin2α+π3+sin2α-π3=2425,化简,得sin2α=2425.
∴(sinα+cosα)2=1+sin2α=4925.
由于0 <α<π,则0<2α<2π,
但sin2α=2425>0,则0<2α<π,即α为锐角,
从而sinα+cosα>0,因此sinα+cosα=75.
20.(12分)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且bcosC=3acosB-ccosB.
(1)求cosB的值.
(2)若BA→•BC→=2,b=22,求a 和c.
解析:(1)△ABC中,∵bcosC=3acosB-ccosB,
由正弦定理,得sinB•cosC=3sinAcosB-sinCco sB,
∴sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,
∴sin(B+C)=sinA=3sinAcosB.
∵sinA≠0,∴cosB=13.
(2)∵BA→•BC→=ac•cosB= 13ac=2,∴ac=6.
∵b2=8=a2+c2-2accosB=a2+c2-4,
∴a2+c2=12,∴a2-2ac+c2=0,
即(a-c)2=0,∴a=c=6.
21.(12分)已知△ABC是半径为R的圆的内接三角形,且2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB.
(1)求角C;
(2)试求△ABC面积S的最大值.
解析:(1)由2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB,
两边同乘以2R,得
(2RsinA)2-(2RsinC)2=(2a-b)2RsinB,
根据正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∴a2-c2=(2a-b)b,即a2+b2-c2=2ab.
再由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=22,
又0<C<π,∴C=π4.
(2)∵C=π4,∴A+B=3π4.
S=12absinC=24(2RsinA)(2RsinB)=2R2sinAsinB
=2R2sinAsin34π-A=22R2sin2A-π4+12R2,
∴当2A-π4=π2,即A=38π时,
S有最大值12+22R2.
22.(12分)如图,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道.赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图像,且图像的最高点为S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.
(1)求A,ω的值和M,P两点间的距离;
(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?
解析:方法一:
(1)依题意,


故NP+MN=1033sinθ+1033sin(60°-θ)
=103312sinθ+32cosθ
=1033sin(θ+60°).
∵0°<θ<60°,∴当θ=30°时,折线段赛道MNP最长.
即将∠PMN设计为30°时,折线段赛道MNP最长.
方法二:(1)同方法一;
(2)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5,
由余弦定理,得
MN2+NP2-2MN•NP•cos∠MNP=MP2,
即MN2+NP2+MN•NP=25.
故(MN+NP)2-25=MN•NP≤MN+NP22,
从而34(MN+NP)2≤25,即MN+NP≤1033,
当且仅当MN=NP时等号成立.
即设计为MN=NP时,折线段赛道MNP最长.

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