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易教网分享:高三数学概率训练题

【点击数:1161 更新时间:2013-09-14

高三数学章末综合测试题(10)概率
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.从装有5只红球,5只白球的袋中任意取出3只球,有事件:
①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”;
②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”;
③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”;
④“取出3只红球”与“取出3只白球”.
  其中是对立事件的有(  )
A.①②     B.②③    
                  C.③④                       D.③
D解析:从袋中任取3只球,可能取到的情况有:“3只红球”,“2只红球1只白球”,“1只红球,2只白球”,“3只白球”,由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件.对于③,“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只红球1只白球”,“1只红球2只白球”,“3只白球”三种情况,与“取出3只红球”是对立事件.
2.取一根长度为4 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段都不少于1 m的概率是(  )
A.14   B.13
C.12   D.23
C解析:把绳子4等分,当剪断点位于中间两部分时,两段绳子都不少于1 m,故所求概率为P=24=12.
3.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,甲不输的概率为80%,则甲 、乙两人下一盘棋,你认为最为可能出现的情况是(  )
A.甲获胜   B.乙获胜
C.甲、乙下成和棋   D.无法得出
C解析:两人下成和棋的概率为50%,乙胜的概率为20%,故甲、乙两人下一盘棋,最有可能出现的情况是 下成和棋.
4.如图所示,墙上挂有边长为a的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为a2的扇形,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是(  )
                   A.1-π4                B.π4
       C.1-π8   D.与a的取值有关
        A  解析:几何概型,P=a2-πa22a2=1-π4,故选A.
5.从1,2,3,4这四个数中,不重复地任意取两个种,两个数一奇一偶的概率是(  )
A.16   B.25
C.13   D.23
  D 解析:基本事件总数为6,两个数一奇一偶的情况有4种,故所求概率P=46=23.
6.从含有4个元素的集合的所有子集中任取一个,所取的子集是含有2个元素的集合的概率是(  )
A.310   B.112
C.4564   D.38
  D解析:4个元素的集合共16个子集,其中含有两个元素的子集有6个,故所求概
         率为P=616=38.
      7 .某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则下列说法正确的是(  )
A.一定不会淋雨   B.淋雨的可能性为34
C.淋雨的可能性为12   D.淋雨的可能性为14
D解析:基本事件有“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下
   雨帐篷未到”4种情况,而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨的可能性为14.
  8.将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(  )
A.19   B.112
C.115   D.118
D解析:基本事件总数为216,点数构成等差数列包含的基本事件有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,6),(3,2,1),(3,4,5),(4,3,2),(4,5,6),(5,4,3),(5,3,1),(6,5,4),(6,4,2)共12个,故求概率为P=12216=118.
9.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件Cn的概率最大,则N的所有可能值为(  )
                  A.3              B.4
                  C.2和5                     D.3和4
D解析:点P(a,b)的个数共有2×3=6个,落在直线x+y=2上的概率P(C2)=16;落在直线x+y=3上的概率P(C3)=26;落在直线x+y=4上的概率P(C4)=26;落在直线x+y=5上的概率P(C5)=16,故选D.
10.连掷两次骰子得到的点数分别为m,n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈0,π2的概率是(  )
A.512   B.12
C.712   D.56
C 解析:基本事件总数为36,由cosθ=a•b|a|•|b|≥0得a•b≥0,即m-n≥0,包含的基本事件有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共21个,故所求概率为P=2136=712.
11.在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币,方格的边长(方格边长设为a)要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于1% (  )
A.a>910   B.a>109
C.1<a<109   D.0<a<910
C解析:硬币与方格线不相交,则a>1时,才可能发生,在每一个方格内,当硬币的圆心落在边长为a-1,中心与方格的中心重合的小正方形内时,硬币与方格线不相交,故硬币与方格线不相交的概率P=(a-1)2a2.,由(a-1)2a2<1%,得1<a<109.
12.集合A={(x,y)|x-y-1≤0,x+y-1≥0,x∈N},集合B={(x,y)|y≤-x+5,x∈N},先后掷两颗骰子,设掷第一颗骰子得点数记作a,掷第二颗骰子得数记作b,则(a,b)∈A∩B的概率等于 (  )
A.14   B.29
C.736   D.536
B解析:根据二元一次不等式组表示的平面区域,可知A∩B对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点.其中整数点有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)共14个.现先后抛掷2颗骰子,所得点数分别有6种,共会出现36种结果,其中落入阴影区域内的有8种,即(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2).所以满足(a,b)∈A∩B的概率为836=29,
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.若实数x,y满足|x|≤2,|y|≤1,则任取其中x,y,使x2+y2≤1的概率为__________.
解析:点(x,y)在由直线x=±2和y=±1围成的矩形上或其内部,使x2+y2≤1的点(x, 
     y)在以原点为圆心,以1为半径的圆上或其内部,故所求概率为P=π4×2=π8.
答案:π8
14.从所有三位二进制数中随机抽取一个数,则这个数化为十进制数后比5大的概率是
        ________.
解析:三位二进制数共有4个,分别111(2), 110(2),101(2),100(2),其中111(2)与110(2)化为十   
      进制数后比5大,故所求概率为P=24=12.
答案:12
15.把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为m,第二次出现的点数记为n,方程
    组mx+ny=3,2x+3y=2,只有一组解的概率是__________.
   1718  解析:由题意,当m2≠n3,即3m≠2n时,方程组只有一解.基本事件总数为36,  
  满足3m=2n的基本事件有(2,3),(4,6)共两个,故满足3m≠2n的基本事件数为34个,
   故所求概率为P=3436=1718.
   16.在圆(x-2)2+(y-2)2=8内有一平面区域E:x-4≤0,y≥0,mx-y≤0(m≥0),点P是圆内的   
       任意一点,而且出现任何一个点是等可能的.若使点P落在平面区域E内的概率最
       大,则m=__________.
   0  解析:如图所示,当m=0时,平面区域E的面积最大,
      则点P落在平面区域E内的概率最大.

三、解答题:本大题共6小题,共70分.
17.(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿 命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示
分组 [500,900) [900,1 100) [1 1001 300) [1 300,1 500) [1 500,1 700) [1 700,1 900) [1 900,+∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率[]     
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率;
(3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支,若将上述频率作为概率,估计经过1 500小时约需换几支灯管.
解析:
分组 [500,900) [900,1 100) [1 1001 300) [1 300,1 500) [1 500,1 700) [1 700,1 900) [1 900,+∞)
频数 48  121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
(2)由(1)可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,
所以,灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6.
(3)由(2)只,灯管使用寿命不足1 500小时的概率为0.6.
15×0.6=9,故经过1 500小时约需换9支灯管.
18.(12分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸 取一个球.
(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;
(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.
解析:(1)一共有8种不同的结果,列举如下:
(红,红,红)、(红,红,黑)、(红,黑,红)、(红,黑,黑)、
(黑、红,红)、(黑,红,黑)、(黑,黑,红)、(黑、黑、黑).
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A,
事件A包含的基本事件为:
(红,红,黑)、(红,黑,红)、(黑,红,红).
事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知,基本事件总数为8,
所以事件A的概率为P(A)=38.
19.(12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.设复数z=a+bi.
(1)求事件“z-3i为实数”的概率;
(2)求事件“复数z在复平面内的对应点(a,b)满足(a-2)2+b2≤9”的概率.
解析:(1)z-3i为实数,
即a+bi-3i=a+(b-3)i为实数,∴b=3.
又b可取1,2,3,4,5,6,故出现b=3的概率为16.
即事件“z-3i为实数”的概率为16.
(2)由已知,b的值只能取1,2,3.
当b=1时,(a-2)2≤8,即a可取1,2,3,4;
当b=2时,(a-2)2≤5,即a可取1,2,3,4;
当b=3时,(a-2)2≤0,即a可取2.
综上可知,共有9种情况可使事件成立.
又a,b的取值情况共有36种,
所以事件“点(a,b)满足(a-2 )2+b2≤9”的概率为14.
20.(12分)汶川地震发生后,某市根据上级要求,要从本市人民医院报名参加救援的护理专家、外科专家、心理治疗专家8名志愿者中,各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴汶川进行医疗求助,其中A1,A2,A3是护理专家,B1,B2,B3是外科专家,C1,C2是心理治疗专家.
(1)求A1恰被选中的概率;
(2)求B1和C1不全被选中的概率.
解析:(1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名,其一切可能的结果为:
(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2).共有18个基本事件.
用M表示“A1恰被选中 ”这一事件,则
M包括(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2).共有6个基本事件.
所以P(M)=618=13.
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件,则 其对立事件N表示“B1和C1全被选中”这一事件,
由N包括(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),共有3个基本事件,
所以P(N)=318=16,
由对立事件的概率公式得P(N)=1-P(N)=1-16=56.
21.(12分)设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从-4,-3,-2,-1四个数中任取的一个数,b是从1,2,3三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若a是从区间[-4,-1]任取的一个数,b是从区间[1,3]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
解析:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a<0,b>0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a+b≤0.
(1)基本事件共12个:(-4,1),(-4,2),(-4,3),
(-3,1),(-3,2),(-3,3),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-1,1),(-1,2),(-1,3).
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率为
P(A)=912=34.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a,b)|-4≤a≤-1,1≤b≤3},构成事件A的区域为{(a,b)|-4≤a≤-1,1≤b≤3,a+b≤0},
所求概率为这两区域面积的比.
所以所求的概率P=3×2-12×223×2=23.
22.(12分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的,每天只安排一人) .
(1)共有多少种安排方法?
(2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少?
(3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少?
解析:(1)安排情况如下:
甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丙丁,丁甲,丁乙,丁丙.故共有12种安排方法.
(2)甲、乙两人都被安排的情况包括:“甲乙”,“乙甲”两种,故甲、乙两人都被安排(记为事件A)的概率为
P(A)=212=16.
(3)方法一:“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是对立事件,∵甲、乙两人都不被安排的情交包括:“丙丁”,“丁丙”两种,则“甲、乙两人都不被安排的概率为212=16”.
∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)=1-16=56.
方法二:甲、乙两人中至少有一人被安排的情况包括:“甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丁甲,丁乙”共10种,∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)=1012=56.

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